Les suites récurrentes en Terminale S sont un outil puissant pour modéliser des phénomènes évolutifs, comme la croissance d'une population ou l'accumulation d'un capital. Ce cours vous guidera pas à pas pour maîtriser ce concept clé, essentiel pour vos DS et l'examen du baccalauréat.
Vous apprendrez à reconnaître une relation de récurrence, à la résoudre et à analyser le comportement des suites. Des exemples concrets et des exercices corrigés vous permettront de progresser efficacement.
Prérequis
Pour bien comprendre les suites récurrentes, il est indispensable de maîtriser les notions suivantes :
- Définition d'une suite : Une suite est une fonction qui associe à tout entier naturel un nombre réel.
- Notation des termes : On note généralement \( u_n \) le terme de rang \( n \).
- Limite d'une suite : Une suite converge vers une limite \( l \) si ses termes se rapprochent arbitrairement de \( l \) quand \( n \) tend vers l'infini.
- Raisonnement par récurrence : Technique de démonstration utilisée pour prouver des propriétés sur les entiers naturels.
- Fonctions affines : Fonctions de la forme \( f(x) = ax + b \), où \( a \) et \( b \) sont des constantes.
Pour réviser ces notions, consultez nos cours sur :
les suites numériques et le raisonnement par récurrence.
Définition d'une suite récurrente
Définition : Une suite \( (u_n) \) est dite récurrente s'il existe une relation qui permet de calculer \( u_{n+1} \) à partir de \( u_n \) (et éventuellement des termes précédents). Cette relation s'écrit généralement sous la forme :
$$ u_{n+1} = f(u_n) $$
où \( f \) est une fonction donnée.
Propriété : Une suite récurrente est entièrement déterminée par :
- La relation de récurrence \( u_{n+1} = f(u_n) \).
- La valeur initiale \( u_0 \) (ou \( u_1 \), selon la convention).
Exemple simple : Considérons une suite où chaque terme est le double du précédent. La relation de récurrence est alors :
$$ u_{n+1} = 2u_n $$
Si \( u_0 = 3 \), alors la suite est : \( 3, 6, 12, 24, \ldots \)
Types de relations de récurrence
Les relations de récurrence peuvent être classées en plusieurs catégories selon leur forme. Voici les principales :
1. Récurrence linéaire
Définition : Une relation de récurrence est dite linéaire si elle s'écrit sous la forme :
$$ u_{n+1} = a u_n + b $$
où \( a \) et \( b \) sont des constantes réelles.
Exemple : La suite définie par \( u_{n+1} = 0.5 u_n + 1 \) et \( u_0 = 0 \) est une suite récurrente linéaire.
2. Récurrence affine
C'est un cas particulier de la récurrence linéaire où \( b \neq 0 \). Ces suites sont très fréquentes en économie (ex : capitalisation avec intérêts).
3. Récurrence non linéaire
Définition : Une relation de récurrence est dite non linéaire si elle ne peut pas s'écrire sous la forme \( u_{n+1} = a u_n + b \). Par exemple :
$$ u_{n+1} = u_n^2 + 1 $$
ou
$$ u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n} $$
4. Récurrence d'ordre supérieur
Définition : Une relation de récurrence d'ordre \( k \) fait intervenir les \( k \) termes précédents. Par exemple :
$$ u_{n+2} = 3 u_{n+1} - 2 u_n $$
est une relation de récurrence d'ordre 2.
Résolution d'une suite récurrente
Méthode générale pour résoudre une suite récurrente linéaire
Méthode : Pour résoudre une suite récurrente linéaire \( u_{n+1} = a u_n + b \), suivez ces étapes :
- Trouver la suite constante associée : Cherchez \( l \) tel que \( l = a l + b \). Résolvez cette équation pour obtenir la limite éventuelle de la suite.
- Poser \( v_n = u_n - l \) : Cette transformation permet de simplifier la relation de récurrence.
- Résoudre la nouvelle relation : La suite \( (v_n) \) est souvent géométrique et se résout facilement.
- Retrouver \( u_n \) : En utilisant \( u_n = v_n + l \), obtenez l'expression explicite de \( u_n \).
Exemple : Résolution d'une suite récurrente linéaire
Exemple : Résolvons la suite récurrente définie par \( u_{n+1} = 0.5 u_n + 1 \) avec \( u_0 = 0 \).
Étape 1 : Trouver la suite constante associée
Cherchons \( l \) tel que \( l = 0.5 l + 1 \).
$$ l - 0.5 l = 1 $$
$$ 0.5 l = 1 $$
$$ l = 2 $$
Étape 2 : Poser \( v_n = u_n - 2 \)
La relation devient :
$$ v_{n+1} + 2 = 0.5 (v_n + 2) + 1 $$
$$ v_{n+1} = 0.5 v_n + 1 - 2 + 2 $$
$$ v_{n+1} = 0.5 v_n $$
Étape 3 : Résoudre la suite géométrique
La suite \( (v_n) \) est géométrique de raison \( 0.5 \) et de premier terme \( v_0 = u_0 - 2 = -2 \).
$$ v_n = v_0 \times (0.5)^n = -2 \times (0.5)^n $$
Étape 4 : Retrouver \( u_n \)
$$ u_n = v_n + 2 = -2 \times (0.5)^n + 2 $$
On peut aussi écrire :
$$ u_n = 2 - \frac{2}{(0.5)^{n-1}} = 2 - 2^{2 - n} $$
Résolution de suites récurrentes non linéaires
Les suites non linéaires sont souvent plus complexes à résoudre. Voici quelques méthodes selon les cas :
Méthode visuelle : Diagrammes de Cobweb
Pour étudier le comportement d'une suite récurrente non linéaire, on peut tracer le diagramme de Cobweb (ou toile d'araignée) :
- Tracer la droite \( y = x \).
- Tracer la courbe \( y = f(x) \).
- Partir du point \( (0, u_0) \), puis alterner entre les deux courbes pour obtenir les termes suivants.
Ce diagramme permet de visualiser si la suite converge ou diverge.
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🔒 Dans la suite du cours
- Exemples détaillés
- Erreurs fréquentes
- À retenir
- Exercices d'application
- Corrigés
- Mini-quiz
- FAQ
- Conclusion et appel à l'action