Introduction
En classe de 2nde, étudier les variations de fonctions est essentiel pour comprendre comment une fonction évolue sur son domaine de définition. Que ce soit pour modéliser une trajectoire, une dépense ou une croissance, les variations permettent de repérer les moments où une fonction atteint son maximum ou son minimum. Ce cours te guidera pas à pas pour maîtriser ce concept clé, avec des exemples concrets et des méthodes claires.
À la fin de cette leçon, tu sauras :
• Définir les variations d’une fonction.
• Construire un tableau de variations.
• Identifier les extremums (maximum et minimum).
• Appliquer ces notions à des problèmes concrets.
Prêt·e à découvrir comment les fonctions "monte" ou "descend" ? C’est parti !
Prérequis
Pour bien comprendre ce cours sur les variations de fonctions, il est important de maîtriser quelques notions vues en 3ème et au début de la 2nde :
- Fonctions affines : $f(x) = ax + b$ (cours sur les fonctions linéaires et affines).
- Représentation graphique : savoir tracer une courbe dans un repère et lire ses propriétés.
- Notion de dérivée (rappel) : bien que la dérivée soit approfondie plus tard, tu dois connaître la notion de pente et de tangente à une courbe.
- Calcul de valeurs intermédiaires : savoir évaluer une fonction pour une valeur donnée de $x$.
Si ces notions te semblent floues, consulte rapidement les cours suivants avant de continuer :
• Fonctions affines en 3ème (pour les bases).
• Introduction aux fonctions en 2nde (pour les représentations graphiques).
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1. Définition des variations d'une fonction
Les variations d’une fonction décrivent comment la valeur de la fonction $f(x)$ évolue lorsque la variable $x$ augmente ou diminue sur son domaine de définition. On dit qu’une fonction est :
• croissante sur un intervalle si, pour deux nombres $x_1$ et $x_2$ de cet intervalle avec $x_1 \lt x_2$, alors $f(x_1) \lt f(x_2)$.
• décroissante sur un intervalle si, pour deux nombres $x_1$ et $x_2$ de cet intervalle avec $x_1 \lt x_2$, alors $f(x_1) \gt f(x_2)$.
• constante sur un intervalle si $f(x)$ ne change pas (exemple : $f(x) = 3$).
Explication simple
Imagine que tu montres une fonction comme une montagne russe :
• Quand tu descends la pente, la fonction est décroissante (plus $x$ augmente, plus $f(x)$ diminue).
• Quand tu montes la pente, la fonction est croissante (plus $x$ augmente, plus $f(x)$ augmente).
• Si tu restes sur un plateau, la fonction est constante.
Exemple simple
Considérons la fonction $f(x) = x^2$ définie sur $\mathbb{R}$.
- Pour $x \lt 0$ (exemple : $x = -2$), $f(-2) = 4$ et $f(-1) = 1$. Ici, $x$ augmente mais $f(x)$ diminue : la fonction est décroissante sur cet intervalle.
- Pour $x \gt 0$ (exemple : $x = 1$ et $x = 2$), $f(1) = 1$ et $f(2) = 4$. Ici, $x$ augmente et $f(x)$ aussi : la fonction est croissante sur cet intervalle.
Remarque : À $x = 0$, la fonction atteint son minimum (voir partie 3).
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2. Tableau de variations
Un tableau de variations est un outil qui résume les variations d’une fonction sur son domaine de définition. Il se présente sous la forme d’un tableau avec :
• Une ligne pour la variable $x$.
• Une ligne pour la fonction $f(x)$.
• Des flèches pour indiquer si la fonction est croissante ($\nearrow$), décroissante ($\searrow$), ou constante ($\rightarrow$).
• Les valeurs aux points critiques (extremums, discontinuités).
Construction d’un tableau de variations
Pour construire un tableau de variations, suit ces étapes :
- Déterminer le domaine de définition de la fonction (exemple : $x \in \mathbb{R}$ ou $x \gt 0$).
- Repérer les points critiques (où la dérivée s’annule ou n’existe pas, ou aux bornes du domaine).
- Étudier le signe de la dérivée (ou utiliser le graphique) pour déterminer les variations entre ces points.
- Placer les flèches sur le tableau en fonction des variations.
- Évaluer la fonction aux points critiques si nécessaire (exemple : maximum ou minimum).
Exemple : Tableau de variations pour $f(x) = -x^2 + 4$
Considérons la fonction $f(x) = -x^2 + 4$ définie sur $\mathbb{R}$.
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| $-\infty$ | $\nearrow$ |
| $x = -2$ | $f(-2) = 0$ |
| $-2 \lt x \lt 2$ | $\searrow$ |
| $x = 2$ | $f(2) = 0$ |
| $2 \lt x \lt +\infty$ | $\nearrow$ |
Explications :
• La fonction est croissante jusqu’à $x = -2$ (car la parabole monte avant son sommet).
• Elle est décroissante entre $x = -2$ et $x = 2$ (après le sommet, la parabole descend).
• Elle est croissante à nouveau après $x = 2$ (la parabole remonte).
• Les points $x = -2$ et $x = 2$ sont des extremums (voir partie 3).
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3. Extremums : maximum et minimum
Un extremum est une valeur maximale ou minimale qu’une fonction atteint sur un intervalle donné.
• Un maximum est une valeur $f(a)$ telle que pour tout $x$ dans l’intervalle, $f(x) \le f(a)$.
• Un minimum est une valeur $f(b)$ telle que pour tout $x$ dans l’intervalle, $f(x) \ge f(b)$.
Si la fonction atteint à la fois un maximum et un minimum sur un intervalle fermé, on parle de extremums globaux. Sinon, on parle d’extremums locaux.
Exemple : Extremums de $f(x) = x^3 - 3x^2$
Considérons la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2$. Pour trouver ses extremums, nous étudions d’abord sa dérivée :
$f'(x) = 3x^2 - 6x$.
Les points critiques sont les solutions de $f'(x) = 0$ :
$3x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0$ ou $x = 2$.
En utilisant un tableau de variations de la dérivée, on trouve :
• $f'(x) \gt 0$ pour $x \lt 0$ et $x \gt 2$ : la fonction est croissante sur ces intervalles.
• $f'(x) \lt 0$ pour $0 \lt x \lt 2$ : la fonction est décroissante sur cet intervalle.
Ainsi :
• $x = 0$ est un maximum local (la fonction passe de croissante à décroissante).
• $x = 2$ est un minimum local (la fonction passe de décroissante à croissante).
Les valeurs correspondantes sont :
• $f(0) = 0$ (maximum local).
• $f(2) = -4$ (minimum local).
Contenu réservé aux membres
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🔒 Dans la suite du cours
- 4. Lien avec la dérivée (rappel)
- 5. Méthode pour étudier les variations
- 6. Erreurs fréquentes à éviter
- 7. À retenir
- 8. Exercices d'application
- 9. Corrigés détaillés
- 10. Mini-quiz
- 11. FAQ
- Conclusion