En première, les vecteurs deviennent un outil indispensable pour modéliser des situations dans l’espace. Que vous soyez en filière générale ou technologique, maîtriser ces concepts vous permettra de résoudre des problèmes concrets, comme calculer des déplacements ou des vitesses, ou encore démontrer des propriétés géométriques. Ce cours complet vous guidera pas à pas, avec des exemples concrets et des méthodes claires pour réussir sans stress.
À la fin de cette leçon, vous saurez définir un vecteur, calculer ses coordonnées, utiliser les propriétés d’addition et de multiplication par un scalaire, et appliquer ces notions à des problèmes géométriques ou physiques. Prêt ? C’est parti !
Prérequis : ce qu’il faut savoir avant
Pour bien démarrer, assurez-vous de maîtriser ces notions de géométrie plane et spatiale vues au collège et en seconde :
- Notation des points et droites : savoir représenter un point \( A \) ou une droite \( (AB) \) dans l’espace.
- Repérage dans le plan et l’espace : coordonnées d’un point \( A(x; y; z) \) dans un repère orthonormé.
- Vecteurs dans le plan : égalité de deux vecteurs, translation, addition de vecteurs.
- Produit scalaire dans le plan : formule \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|u\| \|v\| \cos(\theta) \).
- Calculs algébriques : simplifications, factorisations, et manipulations d’expressions.
Si ces notions vous semblent floues, consultez nos cours sur les vecteurs dans le plan ou le repérage dans l’espace pour vous rafraîchir la mémoire.
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1. Définition et représentation des vecteurs
Définition : qu’est-ce qu’un vecteur ?
Un vecteur est un objet mathématique qui permet de modéliser un déplacement ou une direction dans l’espace, indépendamment de son point de départ. Il est caractérisé par :
- Sa direction : la droite selon laquelle il est orienté.
- Son sens : indiqué par une flèche.
- Sa norme (ou longueur) : notée \( \| \vec{u} \| \).
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme, peu importe leur point d’application. On les note \( \vec{u} = \vec{v} \).
Propriété : notation et exemples
Un vecteur est souvent noté avec une flèche au-dessus, par exemple \( \vec{AB} \), où \( A \) et \( B \) sont deux points. Ce vecteur représente le déplacement de \( A \) vers \( B \).
Exemple : Si \( A(1; 2; 3) \) et \( B(4; 5; 6) \), alors \( \vec{AB} \) est le vecteur qui va de \( A \) à \( B \).
Explication simple : imaginez un GPS
Un vecteur, c’est comme les instructions d’un GPS : "Allez 5 km vers le nord". Peu importe où vous partez (chez vous, au travail), le déplacement est le même. La seule chose qui change, c’est votre point de départ.
Exemple résolu : représentation graphique
Considérons trois points \( A(0; 0; 0) \), \( B(2; 1; -1) \) et \( C(2; 1; 0) \). Les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) ont-ils la même direction ?
Pour vérifier, calculons leurs coordonnées :
- \( \vec{AB} = B - A = (2; 1; -1) \)
- \( \vec{AC} = C - A = (2; 1; 0) \)
Ces vecteurs n’ont pas la même norme (la troisième coordonnée diffère), donc ils ne sont pas égaux. En revanche, \( \vec{AB} \) et \( \vec{BC} \) sont égaux car \( \vec{BC} = C - B = (0; 0; 1) \), mais cela dépend du contexte. Attention : ici, \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) ne sont pas colinéaires (ils ne sont pas sur la même droite).
Méthode : vérifier l’égalité de deux vecteurs
- Calculez les coordonnées des deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) en soustrayant les coordonnées de leurs points d’arrivée et de départ.
- Comparez leurs coordonnées : si \( \vec{u} = (x_1; y_1; z_1) \) et \( \vec{v} = (x_2; y_2; z_2) \), alors \( \vec{u} = \vec{v} \) si et seulement si \( x_1 = x_2 \), \( y_1 = y_2 \) et \( z_1 = z_2 \).
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2. Coordonnées d’un vecteur dans l’espace
Définition : coordonnées d’un vecteur
Dans un repère orthonormé de l’espace \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \), les coordonnées d’un vecteur \( \vec{u} \) sont les coordonnées de son point d’arrivée moins celles de son point de départ. Si \( \vec{u} = \vec{AB} \), alors :
$$ \vec{u} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) $$
Exemple : Si \( A(1; -2; 3) \) et \( B(4; 0; -1) \), alors \( \vec{AB} = (4 - 1; 0 - (-2); -1 - 3) = (3; 2; -4) \).
Propriété : vecteur nul et vecteurs opposés
Le vecteur nul \( \vec{0} \) est le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles : \( \vec{0} = (0; 0; 0) \).
Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont opposés si \( \vec{v} = -\vec{u} \), c’est-à-dire si leurs coordonnées sont opposées.
Explication simple : les coordonnées, c’est comme un plan de ville
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🔒 Dans la suite du cours
- 3. Opérations sur les vecteurs
- 4. Produit scalaire et applications
- 5. Erreurs fréquentes à éviter
- 6. À retenir : synthèse des notions clés
- 7. Exercices d’application
- Corrigés détaillés
- Mini-quiz : testez vos connaissances
- FAQ : questions fréquentes sur les vecteurs
- Conclusion : prêt à maîtriser les vecteurs en 1ère ?