1. Qu’est-ce qu’un vecteur en 2nde ?
En géométrie analytique, un **vecteur 2nde** est un outil mathématique qui permet de représenter une grandeur à la fois par sa direction, son sens et sa norme (longueur). Contrairement aux points, les vecteurs peuvent être déplacés sans changer leur nature.
Imaginez un déplacement dans un plan : si vous marchez de 3 mètres vers l’est, puis de 4 mètres vers le nord, votre déplacement total est un vecteur. Les vecteurs sont omniprésents : dans les jeux vidéo (déplacements des personnages), la physique (vitesse, force) ou même la navigation (boussoles).
Définition formelle
Un vecteur AB est défini par :
- Un point de départ A (appelé origine).
- Un point d’arrivée B (appelé extrémité).
On note AB = B – A (soustraction de coordonnées).
Exemple concret
Si A est en (1, 2) et B en (4, 6), alors le vecteur AB est donné par :
AB = (4 – 1, 6 – 2) = (3, 4).
Méthode pour identifier un vecteur
- Repérez les coordonnées du point de départ A (xA, yA).
- Repérez les coordonnées du point d’arrivée B (xB, yB).
- Calculez les différences : xB – xA et yB – yA.
- Le vecteur AB est (xB – xA, yB – yA).
2. Représentation graphique des vecteurs
Un vecteur se représente par une flèche sur un repère orthonormé. La longueur de la flèche correspond à sa norme, et son orientation à sa direction.
Propriétés clés
- Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme, même s’ils ne sont pas placés au même endroit.
- Un vecteur nul (noté 0) a une norme de 0.
- Le vecteur opposé d’un vecteur AB est noté –AB ou BA.
Exemple visuel
Sur le schéma ci-dessous (à insérer), les vecteurs AB et CD sont égaux car ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
3. Opérations sur les vecteurs
Les vecteurs peuvent être additionnés, soustraits ou multipliés par un scalaire (un nombre réel). Ces opérations sont essentielles pour résoudre des problèmes de géométrie.
Addition de deux vecteurs
Pour additionner deux vecteurs AB et CD, on utilise la loi du parallélogramme :
- Placez la queue du deuxième vecteur à la tête du premier.
- Le vecteur résultat est la diagonale du parallélogramme formé.
En coordonnées : si AB = (x1, y1) et CD = (x2, y2), alors AB + CD = (x1 + x2, y1 + y2).
Exemple d’addition
Soient AB = (2, 3) et CD = (–1, 4). Leur somme est :
AB + CD = (2 + (–1), 3 + 4) = (1, 7).
Multiplication par un scalaire
Multiplier un vecteur AB = (x, y) par un nombre réel k donne :
k × AB = (k × x, k × y).
- Si k > 0, le sens reste le même.
- Si k < 0, le sens est inversé.
- Si k = 0, le vecteur devient nul.
Exemple de multiplication
Soit AB = (3, –2). Alors 2 × AB = (6, –4) et –1 × AB = (–3, 2).
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🔒 Dans la suite du cours
- 4. Coordonnées d’un vecteur
- 5. Applications pratiques des vecteurs
- 6. Erreurs fréquentes à éviter
- 7. À retenir en 5 points
- 8. Exercices d’application
- 9. Corrigés détaillés
- 10. Mini-quiz interactif
- 11. FAQ : Vos questions sur les vecteurs
- Conclusion : Prêt à maîtriser les vecteurs en 2nde ?