Introduction : Pourquoi la dérivation est-elle essentielle en 1ère ?
En classe de 1ère, la dérivation est une notion fondamentale en analyse qui permet de modéliser et d’étudier le comportement des fonctions. Que vous soyez en filière générale, technologique (STMG, STI2D) ou spécialisée, maîtriser la dérivation vous aidera à résoudre des problèmes concrets, comme optimiser des coûts en économie ou analyser des mouvements en physique.
Imaginez un vélo dont la vitesse varie au fil du temps : la dérivée de la position par rapport au temps donne exactement cette vitesse instantanée. En mathématiques, cette idée se généralise à toutes les fonctions : la dérivée mesure la variation instantanée d’une fonction en un point. Ce concept est au cœur des applications pratiques, des graphiques des fonctions aux équations de tangentes.
Ce cours complet vous guidera pas à pas, depuis les définitions de base jusqu’aux applications avancées, avec des exercices corrigés pour vous entraîner. Prêt à découvrir comment transformer une fonction en sa "version dérivée" ?
Prérequis : Ce qu’il faut savoir avant de commencer
Pour bien démarrer, assurez-vous de maîtriser ces notions, déjà abordées en Terminale ou en classe de Seconde :
- Fonctions : Savoir représenter graphiquement une fonction, identifier son domaine de définition et ses variations.
- Limites : Comprendre la notion de limite d’une fonction en un point (notamment les limites finies et infinies).
- Notation ensembliste : Utiliser les notations comme \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) pour décrire une fonction.
- Calcul algébrique : Simplifier des expressions, manipuler les puissances et les racines carrées.
- Graphiques : Lire les coordonnées d’un point sur une courbe et tracer une droite d’équation donnée.
Si certaines de ces notions vous semblent floues, consultez nos cours sur les limites ou les fonctions pour un rappel complet.
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1. Le nombre dérivé et la tangente
1.1. Définition du nombre dérivé
Définition : Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \), et \( a \) un point de \( I \). On dit que \( f \) est dérivable en \( a \) s’il existe un nombre réel \( \ell \) tel que la limite suivante existe :
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \ell $$
Ce nombre \( \ell \) est appelé le nombre dérivé de \( f \) en \( a \), et on le note \( f'(a) \).
En termes simples, le nombre dérivé mesure la pente instantanée de la courbe de la fonction au point \( a \).
1.2. La tangente à une courbe
Propriété : Si \( f \) est dérivable en \( a \), alors la droite d’équation
$$ y = f'(a)(x - a) + f(a) $$
est la tangente à la courbe de \( f \) au point \( A(a, f(a)) \).
Analogie : Imaginez une voiture roulant sur une route sinueuse. La tangente au point où vous vous trouvez représente la direction instantanée de la route, et sa pente correspond à la vitesse de la voiture (le nombre dérivé).
1.3. Exemple : Calcul du nombre dérivé
Soit \( f(x) = x^2 \). Calculons le nombre dérivé en \( a = 2 \).
On applique la définition :
$$ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h} $$
Développons le numérateur :
$$ (2 + h)^2 - 4 = 4 + 4h + h^2 - 4 = 4h + h^2 $$
Donc :
$$ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4 $$
Le nombre dérivé de \( f \) en \( 2 \) est donc \( 4 \).
Interprétation graphique : La tangente à la courbe \( y = x^2 \) au point \( (2, 4) \) a pour pente \( 4 \).
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2. La dérivée d’une fonction
2.1. Définition de la dérivée
Définition : Une fonction \( f \) est dite dérivable sur un intervalle \( I \) si elle est dérivable en tout point de \( I \). La fonction qui à tout point \( x \) de \( I \) associe \( f'(x) \) est appelée la fonction dérivée de \( f \), et on la note \( f' \).
Autrement dit, la dérivée est une fonction qui donne la pente de la tangente à la courbe de \( f \) en chaque point.
2.2. La fonction dérivée
Propriété : Si \( f \) est dérivable sur \( I \), alors sa fonction dérivée \( f' \) est définie sur \( I \). Par exemple, si \( f(x) = x^n \) avec \( n \in \mathbb{N}^* \), alors :
$$ f'(x) = n x^{n-1} $$
Cette règle est valable pour tout entier naturel \( n \geq 1 \).
Exemple : Pour \( f(x) = 3x^4 \), la dérivée est \( f'(x) = 12x^3 \).
2.3. Exemple : Dérivée d’une fonction quadratique
Soit \( f(x) = -2x^2 + 5x - 1 \). Calculons sa dérivée \( f' \).
En appliquant la règle de dérivation des monômes :
$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(-1) $$
On obtient :
$$ f'(x) = -4x + 5 $$
La fonction dérivée est donc une droite affine de pente \( -4 \) et d’ordonnée à l’origine \( 5 \).
Interprétation : La courbe de \( f \) admet une tangente dont la pente varie linéairement avec \( x \).
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🔒 Dans la suite du cours
- 3. Les règles de dérivation
- 4. Applications de la dérivation
- 5. Erreurs fréquentes et pièges à éviter
- 6. À retenir : Résumé des notions clés
- 7. Exercices d'application
- 8. Corrigés détaillés
- 9. Mini-quiz : Testez vos connaissances
- 10. FAQ : Vos questions sur la dérivation en 1ère
- Conclusion et appel à l'action