Tu te demandes comment calculer la hauteur d’un arbre ou la distance entre deux points sans les mesurer directement ? La trigonométrie en 4ème va te permettre de résoudre ces problèmes grâce aux rapports sinus, cosinus et tangente dans un triangle rectangle. Ces outils, apparus il y a des millénaires pour mesurer les étoiles ou construire des pyramides, sont aujourd’hui essentiels en mathématiques et dans la vie quotidienne. Dans ce cours, tu vas apprendre à les définir, les utiliser et éviter les pièges courants. Prêt·e à explorer ce domaine fascinant ?
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Prérequis : Ce qu’il faut savoir avant de commencer
Pour bien démarrer, assure-toi de maîtriser ces notions :
- Les triangles rectangles : un triangle avec un angle droit (90°). Rappelle-toi que la somme des angles dans un triangle est de 180°, donc les deux autres angles sont complémentaires (ex. : 30° et 60°).
- Le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Formule : \(a^2 + b^2 = c^2\).
- Les angles et leurs mesures : savoir lire un angle en degrés (°) et connaître les angles remarquables (30°, 45°, 60°).
- Les fractions et les pourcentages : pour calculer des rapports (ex. : "3/4" ou "0,75").
Si ces notions te semblent floues, revisite les cours sur les triangles rectangles ou le théorème de Pythagore avant de continuer.
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1. Définition des rapports trigonométriques
Définition : Sinus, cosinus et tangente
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu (angle inférieur à 90°), on définit trois rapports trigonométriques :
- Sinus (sin) : rapport entre la longueur du côté opposé à l’angle et celle de l’hypoténuse.
Formule : \( \sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \). - Cosinus (cos) : rapport entre la longueur du côté adjacent (côté qui forme l’angle sans être l’hypoténuse) et celle de l’hypoténuse.
Formule : \( \cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \). - Tangente (tan) : rapport entre la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent.
Formule : \( \tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \).
Exemple visuel : Dans le triangle rectangle ABC ci-dessous, avec l’angle droit en B et l’angle α en A :
- \( \sin(\alpha) = \frac{AB}{AC} \)
- \( \cos(\alpha) = \frac{AC}{AC} \) (attention, ici c’est BC/AC !)
- \( \tan(\alpha) = \frac{AB}{BC} \)
Propriété : Valeurs remarquables
Pour les angles remarquables, les valeurs de sin, cos et tan sont mémorisables :
| Angle α | sin(α) | cos(α) | tan(α) |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 ≈ 0,577 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,707 | √2/2 ≈ 0,707 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 ≈ 1,732 |
Astuce : Pour 30° et 60°, les valeurs de sin et cos sont inversées. À 45°, sin et cos sont égaux.
Exemple résolu : Calculer sin, cos et tan d’un angle
Dans le triangle rectangle DEF ci-dessous, avec DE = 3 cm, DF = 4 cm et EF = 5 cm (vérifie avec Pythagore : 3² + 4² = 5²), calculons les rapports trigonométriques pour l’angle D (α = 90° - angle E).
- Côté opposé à α : DE = 3 cm.
- Côté adjacent à α : EF = 5 cm.
- Hypoténuse : DF = 4 cm (attention, ici c’est une erreur ! L’hypoténuse est bien EF = 5 cm, car c’est le côté opposé à l’angle droit. Corrigé : hypoténuse = EF = 5 cm, côté opposé = DE = 3 cm, côté adjacent = DF = 4 cm).
Calculs :
- \( \sin(\alpha) = \frac{DE}{EF} = \frac{3}{5} = 0,6 \)
- \( \cos(\alpha) = \frac{DF}{EF} = \frac{4}{5} = 0,8 \)
- \( \tan(\alpha) = \frac{DE}{DF} = \frac{3}{4} = 0,75 \)
Méthode : Trouver les rapports trigonométriques
Pour calculer sin, cos ou tan d’un angle α dans un triangle rectangle :
- Identifie l’angle aigu α dont tu veux calculer les rapports.
- Repère les trois côtés par rapport à α :
- Côté opposé : le côté qui n’est ni l’hypoténuse ni adjacent à α.
- Côté adjacent : le côté qui forme l’angle α et n’est pas l’hypoténuse.
- Hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit (le plus long).
- Applique la formule adaptée :
- Pour sin(α) : \( \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \).
- Pour cos(α) : \( \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \).
- Pour tan(α) : \( \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \).
- Simplifie la fraction si possible (ex. : \( \frac{3}{5} \) reste sous forme irréductible).
- Convertis en décimal si nécessaire (ex. : \( \frac{3}{5} = 0,6 \)).
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2. Propriétés des rapports trigonométriques
Propriété 1 : Valeurs entre 0 et 1
Pour tout angle aigu α :
- \( 0 \lt \sin(\alpha) \lt 1 \)
- \( 0 \lt \cos(\alpha) \lt 1 \)
- \( \tan(\alpha) \gt 0 \) (car les deux côtés sont positifs).
Exemple : Dans un triangle rectangle, sin(30°) = 0,5 (entre 0 et 1), cos(60°) = 0,5 (entre 0 et 1), et tan(45°) = 1.
Propriété 2 : Relation fondamentale
Pour tout angle aigu α, la somme des carrés de sin et cos est égale à 1 :
\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]
Cela découle directement du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle.
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🔒 Dans la suite du cours
- 3. Calculer les longueurs dans un triangle rectangle
- 4. Erreurs fréquentes à éviter
- 5. À retenir : Résumé des notions clés
- 6. Exercices d'application
- 7. Corrigés détaillés
- 8. Mini-quiz : Teste tes connaissances
- 9. FAQ : Questions fréquentes
- 10. Conclusion et appel à l’action