Équations du premier degré en 4ème : Cours complet avec exercices et corrigés

**Introduction : Pourquoi les équations du premier degré sont-elles utiles ?**

En 4ème, les équations du premier degré sont une **brique fondamentale** des mathématiques. Elles te permettront de résoudre des problèmes concrets, comme calculer un prix après une réduction, trouver un nombre inconnu dans une situation réelle, ou même modéliser des situations géométriques. Que tu veuilles réussir ton contrôle ou simplement comprendre comment "décrypter" les énigmes mathématiques, ce cours est fait pour toi. Avec des **exercices corrigés** et des méthodes claires, tu vas maîtriser les équations en un temps record !

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**1. Définition et vocabulaire : Qu’est-ce qu’une équation du premier degré ?**

Par exemple, \( 3x + 5 = 14 \) est une équation du premier degré, car la variable \( x \) est élevée à la puissance 1 (ou simplement présente). En revanche, \( x^2 + 2x = 8 \) n’en est pas une, car elle contient un terme en \( x^2 \).

**Exemple concret : Le problème du sandwich**

Imagine que tu partages un sandwich avec 3 amis. Chaque part est égale, et il reste 2 morceaux. Combien de parts y avait-il au total ?

On peut modéliser cette situation par l’équation :
\[
x - 4 = 2
\]
où \( x \) représente le nombre total de parts. Ici, \( x \) est l’**inconnue**, et la solution est \( x = 6 \).

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**2. Résolution d’une équation du premier degré**

**2.1. Propriétés essentielles pour résoudre une équation**

1. Propriété de conservation de l’égalité :
   Si on ajoute ou soustrait le même nombre des deux côtés d’une équation, l’égalité reste vraie.
   Exemple :
   \[
   x + 3 = 7 \quad \Rightarrow \quad x + 3 - 3 = 7 - 3 \quad \Rightarrow \quad x = 4
   \]
2. Propriété multiplicative :
   Si on multiplie ou divise les deux côtés d’une équation par le même nombre non nul, l’égalité reste vraie.
   Exemple :
   \[
   2x = 8 \quad \Rightarrow \quad \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 4
   \]

Ces propriétés découlent du fait que l’on cherche à isoler l’inconnue \( x \) pour trouver sa valeur.

**2.2. Méthode pas à pas pour résoudre une équation**

1. Déplacer les termes constants :
   Soustrais \( b \) des deux côtés pour isoler le terme en \( x \).
   \[
   ax + b - b = c - b \quad \Rightarrow \quad ax = c - b
   \]
2. Isoler \( x \) :
   Divise les deux côtés par \( a \) (à condition que \( a \neq 0 \)).
   \[
   x = \frac{c - b}{a}
   \]
3. Vérifier la solution :
   Remplace \( x \) par la valeur trouvée dans l’équation de départ pour vérifier qu’elle est correcte.